除法【即商法】

術(shù)曰：有實(shí)，有法，有商。別列實(shí)數(shù)，以法數(shù)依號(hào)查籌，從左向右，齊列于諸籌九格內(nèi)。查橫行數(shù)之等于實(shí)數(shù)，或略少于實(shí)數(shù)者，在第幾格即是初商數(shù)。如在第一格，即一為初商也。次以查得之?dāng)?shù)減其實(shí)數(shù)，已盡則止一商，如未盡則有再商。即再查橫行內(nèi)數(shù)之等于存實(shí)，或略少于存實(shí)者，在第幾格即是再商數(shù)。又以查得之?dāng)?shù)減其存實(shí)，如前又未盡，則更有三商。倘再商已除，實(shí)雖未盡，而次位無(wú)實(shí)，則商有○位，即作○以當(dāng)次商。再以存實(shí)于格內(nèi)查之，若至餘實(shí)數(shù)少于法數(shù)，是為不盡法，當(dāng)命分之。

凡除以所分之物為實(shí)。今欲作幾分，分之為法。法與實(shí)須審定，不可倒置。如有糧若干，給若干人，則當(dāng)以糧為實(shí)，以人之?dāng)?shù)為法除之。蓋糧數(shù)是所分之物，人數(shù)是用以分之之法也。

凡書(shū)商數(shù)，皆與減數(shù)第一行相對(duì)，若所減第一位是○，則?作○，于原實(shí)首位上而對(duì)之，此定位之根也。

定位法：除畢，以商得數(shù)與原實(shí)對(duì)位求之，皆如法首位之上一位，命為單數(shù)【歸於法前，得零古法，實(shí)如法而一是也】。然此有二法，有法少實(shí)多者，從原實(shí)內(nèi)?法首位認(rèn)定，逆轉(zhuǎn)上一位，命為單數(shù)【如米則為單石，錢則為單文】既得單數(shù)，則上而十百千萬(wàn)，下而分秒忽微，皆定矣，此為正法。有法反多而實(shí)反少者，乃變法也，法從原實(shí)首位逆遡而上，至法首位止，又上一位，命為單數(shù)【此是虛位，借之以求實(shí)數(shù)】，既得單數(shù)，乃順下求之，命所得為分秒之?dāng)?shù)。

一位商式：三百二十五兩，六十五人分之，問(wèn)各若干？曰五兩。

別列三百二十五兩為實(shí)，以六十五人為法。查六五兩籌，左右齊列，何格數(shù)與實(shí)相等？一格至四格皆少，五格內(nèi)自左向右曰三，二五適等，即五為商數(shù)也。

如太陽(yáng)每歲行天三百六十度，分為七十二候。每候幾何度？曰每候五度。此欲分七十二分，當(dāng)以七二為法，用兩算。

先列三百六十度為實(shí)，次檢七二兩籌為法，視何格內(nèi)有三六○與相同，今在五格，則商作五。又查所減第一位是三，將商數(shù)五對(duì)三字書(shū)之，此法少于實(shí)也。宜于原實(shí)內(nèi)?十度位，即法首位也。法首再上一位為單度，定所得為五度。

假令實(shí)是三千六百，則所得為五十度。此亦法少于實(shí)，法亦于原實(shí)內(nèi)?法首十位，再上一位為單位，單位空，?作圈，再上一位是十度，定所得為五十度。用籌同而得數(shù)迥異，定位之法所以當(dāng)明。

二位商式：三千三百二十五兩，九十五人分之，問(wèn)各若干？曰三十五兩。

列三千三百二十五兩為實(shí)，九十五人為法。列籌二，籌橫數(shù)止三位，須截實(shí)上三位曰三三二，作三百三十二，於格內(nèi)查之，至三格自左向右曰二八五，【中位一七併八】作二百八十五，略少於實(shí)數(shù)，四格則多矣。用三為初商，相減餘四十七，再以餘實(shí)四七及截外之五作四百七十五，查至五格四七五，【二五并七】適等。用五為次商。

如皇極經(jīng)世，一元共十二萬(wàn)九千六百年，分為十二會(huì)，共幾何？曰：每會(huì)一萬(wàn)○八百年。

如圖列實(shí)，檢一二兩籌，第一行是○一二，商作一數(shù)，除實(shí)一二，尚餘九六。至第八行得○九六，商作八，恰盡。又因所減數(shù)是○一二，故于實(shí)首位?作圈，而以商得一，對(duì)此商位書(shū)之，此定位之根。次所減亦是○九六，故以商得八，進(jìn)位書(shū)之，以暗對(duì)其○因法以十為首，則十字之上方是單位，數(shù)至一，恰當(dāng)萬(wàn)也。

三商式：如有水輪，每日共轉(zhuǎn)二千二百四十四周，一日十二時(shí)，每時(shí)幾何轉(zhuǎn)？曰每時(shí)一百八十七，此亦欲分為十二也。故用一二兩籌檢籌，第一行是○一二商，一減，實(shí)一千二百，餘一千四十四。次檢籌，第八行是○九六商，八減，實(shí)九百六十，餘八十四。末儉籌，第七行是○八四商。七法以十為首，則十上一位為單數(shù)。初商數(shù)對(duì)所減籌第一位，因初商是○一二，故遂以一字對(duì)書(shū)之。

商當(dāng)有○式：三十二萬(wàn)三千八百七十六兩，五百三十八人分之，問(wèn)各若干？曰六百零二兩。

列實(shí)查籌。三籌橫數(shù)止四位，截實(shí)左四位，曰三二二八，作三千二百二十八。查至六格，自左向右，曰三二二八，作三千二百二十八，畧少于實(shí)數(shù)，七格則多矣。用六為初商，相減餘一十，以餘實(shí)一○，及截七六作一千零七十六，此乃次位無(wú)實(shí)也。次商當(dāng)作○竟不除實(shí)，餘實(shí)仍是一千零七十六。查至二格，一零七六適等。用二為三商，若次位、三位俱無(wú)實(shí)者，即一連兩商，皆當(dāng)作○。

法有○位式：假如布二萬(wàn)一千七百六十八丈，給與九百○七人，各幾何？曰：每人二十四丈，此欲分為九百○七分也，故以九籌○籌七籌為法。檢籌第二行一八一四，商作二，蓋一格本少，自二格以下皆多，唯第二格略少于實(shí)數(shù)，故商二。減實(shí)一萬(wàn)八千一百四十，尚餘三千六百二十八丈，減至第四三六二八恰盡，故又商四。因法首是百，故百上為單位，知為二十四丈以上，皆法少於實(shí)，故法首在原實(shí)中，乃本位也。

法多實(shí)少式【即除分秒法】：假如銀五百一十二兩，給六百四十人，各若干？曰：每人八錢。解曰：凡不能成一單數(shù)者，皆分秒也。故斤下有兩，兩下有錢，錢下有分，分下有釐，釐下有毫零。以兩為主，以兩為主，則兩為單位，而錢為兩十之一。八錢即十分兩之八，此欲分為六百四十分也。故以六四兩籌為法，檢籌第八行恰盡，故商八。又所減首位不空，故商數(shù)對(duì)之。定位法曰：此法多于實(shí)也。?法首位百逆上，一位是兩，二位空，則知是錢。

又式：如饑民四十八萬(wàn)口，賑米三千六百石，各得若干？曰每口七合五勺，此人分米也。故以四十八萬(wàn)為法，列四八兩籌，檢籌第七行是三三六，初商七，餘二百四十石。次檢籌第五行是二四○次商五，恰盡。定位法于原實(shí)內(nèi)，?法首位，而原實(shí)內(nèi)無(wú)十萬(wàn)，只有千，虛進(jìn)一位?萬(wàn)，又進(jìn)一位十萬(wàn)，十萬(wàn)者，法首位也。再上一位得零，是單石，石位○，順下斗升俱○，知所得為七合五勺。

以上兩例皆法多于實(shí)者，其法首位或在原實(shí)中，必原實(shí)首位也?；虿辉谠瓕?shí)中，則于其原實(shí)上幾位也。要之皆不能滿法，其所得必為分秒。

法多實(shí)者，實(shí)乃零數(shù)，法乃整數(shù)。假如有銀四百五十六兩，而千百十人分是也。

實(shí)多法者，法乃零數(shù)，實(shí)乃整數(shù)。假如有銀四百五十六兩，而有二三十人分也。

法首位者，法首位之?dāng)?shù)也。若法首是十，即于實(shí)之十位上為法首位。若法首是百，即是實(shí)之百位上為法首位。法首位上一位是單者，如實(shí)之十?dāng)?shù)是法首位，而十上之百數(shù)位即為單位也。實(shí)之百數(shù)是法首位，而百上之千即為單位。

實(shí)不盡式：二千三百三十六兩，九十五人分之，問(wèn)各若干？曰三十五兩，餘實(shí)一十一兩。

列實(shí)查籌。二籌橫數(shù)止三位，截實(shí)左三位曰三三三，查至三格自左向右曰二八五，略少于實(shí)數(shù)，用三為初商，相減餘四八，以餘實(shí)四八及截外六作四八六，查至五格四七五，略少于餘實(shí)，用五為次商，相減尚餘一十一，為不盡數(shù)也。